Grupo discreto

En matemáticas, un grupo discreto es un grupo G, provisto con una topología discreta. Con esta topología G se convierte en un grupo topológico. Un subgrupo discreto de un grupo topológico G es un subgrupo H, cuya topología relativa es discreta. Por ejemplo, el conjunto de los números enteros, Z, forman un subgrupo discreto de los reales, R (con la topología métrica estándar), pero el conjunto de los números racionales, Q, no es un subgrupo discreto de R.^[1]​

Cualquier grupo puede tener topología discreta. Ya que todo mapeo de un espacio discreto es continuo, los homomorfismos topológicos entre grupos distintos son exactamente los homomorfismos de grupos entre los grupos de base. Por lo tanto, hay un isomorfismo entre la categoría de grupos y la categoría de grupos discretos. Los grupos discretos por lo tanto, se pueden identificar con grupos subyacentes (no topológicos). Teniendo esto en mente, el término teoría de grupos discretos se utiliza para referirse al estudio de los grupos sin estructura topológica, en contraposición a la teoría de grupos topológicos o grupos de Lie. Están divididos, desde un punto de vista lógico y técnico, en teoría de grupos finitos y teoría de grupos infinitos.

Hay algunas ocasiones en que un grupo topológico o grupo de Lie está provechosamente dotado de la topología discreta, "contra natura". Esto sucede por ejemplo en la teoría de la compactación de Bohr y en la teoría de cohomología de grupos de los grupos de Lie.

1. ↑ BREVE INTRODUCCIÓN A LOS GRUPOS KLEINIANOS Y VARIEDADES HIPERBÓLICAS Archivado el 30 de mayo de 2009 en Wayback Machine.. Departamento de Matemática. Universidad Técnica Federico Santa María. Pág. 61